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第82章（第3页）

林云看着这道题，再次拿起笔，在纸上开始分析。

首先，求函数z在区域D内的驻点。

分别对x和y求偏导数：

z_x = 3x^2 - 3y，z_y = 3y^2 - 3x。

令z_x = 0，z_y = 0，得到方程组：

\begin{cases}3x^2 - 3y = 0 \\ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases}

由3x^2 - 3y = 0可得y = x^2，将其代入3y^2 - 3x = 0中，得到：

3(x^2)^2 - 3x = 0，即3x^4 - 3x = 0，提取公因式3x得3x(x^3 - 1)=0。

解得x = 0或x = 1。

当x = 0时，y = 0；当x = 1时，y = 1。所以函数z在区域D内有两个驻点(0,0)和(1,1)。

接着，求函数z在区域D边界上的最值。

边界x = 0（0\leq y\leq2）上，z = f(0,y)=y^3，z^\prime = 3y^2\geq0，所以z在[0,2]上单调递增，z(0)=0，z(2)=8。

边界y = 0（0\leq x\leq2）上，z = f(x,0)=x^3，z^\prime = 3x^2\geq0，所以z在[0,2]上单调递增，z(0)=0，z(2)=8。

边界x + y = 2（x\geq0，y\geq0）上，y = 2 - x，将其代入z = f(x,y)中得：

z = f(x,2 - x)=x^3 + (2 - x)^3 - 3x(2 - x)

展开并化简：

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